Angewandte Wahrscheinlichkeitsrechnung im Spiel "Wanzen tanzen"

Vorbemerkung

Auf unserem letzten Spieleabend hat mir jemand das recht spannende Spiel "Wanzen tanzen" gezeigt. Im folgenden ein paar Überlegungen zur Bewertung von Spielsituationen.

Situationen

Aufgabe: 2 2 5 5 zu würfeln - Situation 2 2 x x x im ersten Wurf gewürfelt (5 Würfel)

Aus dieser Situation heraus ist mein Nachrechnen entstanden. Mir war nicht klar, ob es besser ist, beide Zweier liegenzulassen (was man intuitiv tun würde), ode lieber nur eine Zwei in der Hoffnung, damit einen Wurf mehr zu haben sowie eine gewisse Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf besser als eine 2 (z.B. 2 und 5) zu würfeln.

Die Aufgabe konnte ich aber spontan nicht lösen, deshalb hab ich zunächst mal eine leichtere probiert, die es so im Spiel eigentlich gar nicht gibt.

Aufgabe: 2 2 2 zu würfeln - Situation 2 2 x x im ersten Wurf gewürfelt (nur 4 Würfel)

Die Situation (insgesamt nur 4 Würfel) gibt es so im Spiel gar nicht, hilft aber vielleicht beim Verstehen. Die Notation x x bedeutet, dass Zahlen gewürfelt werden, die beliebig, aber keine 2er sind.

Zur leichteren Analyse wird im Moment auch zunächst auf den Einsatz von Wanzen komplett verzichtet.

Möglich sind in der Situation folgende zwei Strategien:

Strategie 1: 2 2 liegenlassen und mit zwei Würfel weiterwürfeln

Mit welcher Wahrscheinlichkeit P_S führt diese Strategie zum Sieg? Kann man aus der Wahrscheinlichkeit P_N für eine Niederlage berechnen, eine Niederlage tritt nämlich dann ein, wenn weder beim ersten Würfeln mit zwei Würfeln noch beim zweiten Würfeln mit einem Würfel eine 2 gewürfelt wird:

P_S = 1 - P_N = 1 - [(5/6)*(5/6)]*[(5/6)] = 1 - 125/216 = 91/216 = 0,421...

Strategie 2: 2 liegenlassen und mit drei Würfel weiterwürfeln

Das ist etwas komplizierter. Wahrscheinlich gehts auch hier leichter über die Gegenwahrscheinlichkeit P_N. Man verliert, wenn nie oder noch genau einmal die 2 gewürfelt wird.

Nie die 2 zu würfeln berechnet man mit:

P_N0 = [(5/6)*(5/6)*(5/6)]*[(5/6)*(5/6)]*[(5/6)] = 0.335...

Genau einmal die 2 zu würfeln, muss man für drei Würfe (mit drei, zwei und einem Würfel) separat berechnen, hier darf man aber nicht vergessen, die möglichen Permutationen mit zur berücksichtigen.

Die 2 beim ersten Wurf mit drei Würfeln einmal zu würfeln und danach mit zwei und einem Würfel nicht mehr berechnet sich so:

P_N1-3 = (1 aus 3)*[(1/6)*(5/6)*(5/6)]*[(5/6)*(5/6)]*[(5/6)] = 3 *[(1/6)*(5/6)*(5/6)]*[(5/6)*(5/6)]*[(5/6)] = 0.201 ...

Die 2 beim ersten Wurf mit drei Würfeln nicht zu würfeln, danach mit zwei Würfeln einen einzelne 2 und mit einem Würfel keine 2:

P_N1-2 = [(5/6)*(5/6)*(5/6)] * (1 aus 2)*[(1/6)*(5/6)]*[(5/6)] = 0.134...

Die 2 bei den ersten beiden Würfen mit drei und zwei Würfeln nicht zu würfeln, und dann mit einem Würfel eine 2:

P_N1-1 = [(5/6)*(5/6)*(5/6)] * [(5/6)*(5/6)] * (1 aus 1)*[(1/6)] = 0.070...

Damit ist: P_S = 1 - (P_N0 + P_N1_3 + P_N1_2 + P_N1_1) = 1 - 0.740 = 0.260

Damit ist die Strategie, anfänglich beide 2er liegenzulassen, deutlich erfolgreicher als die, einen wieder wegzunehmen.

Leider funktioniert meine Formeldarstellung noch nicht, Test:

$$

 \sum f(x) = F(x) + g(x)

$$

Noch einer <math>x</math>